Случајне променљиве и расподеле вероватноће

Случајна променљива је нумерички опис исхода статистичког експеримента. Случајна променљива која може претпоставити само коначан број или ан бесконачно секвенца вредности се каже дискретна; за ону која може претпоставити било коју вредност у неком интервалу на линији реалног броја каже се да је континуирана. На пример, случајна променљива која представља број аутомобила проданих у одређеној продавници једног дана била би дискретна, док би случајна променљива која представља тежину особе у килограмима (или килограмима) била континуирана.

Расподела вероватноће за случајну променљиву описује како су вероватноће распоређене на вредности случајне променљиве. За дискретну случајну променљиву, Икс , расподела вероватноће је дефинисана функцијом масе вероватноће, означена са ф ( Икс ). Ова функција пружа вероватноћу за сваку вредност случајне променљиве. У развоју функције вероватноће за дискретну случајну променљиву морају бити задовољена два услова: (1) ф ( Икс ) мора бити ненегативан за сваку вредност случајне променљиве и (2) збир вероватноћа за сваку вредност случајне променљиве мора бити једнак.



Непрекидна случајна променљива може попримити било коју вредност у интервалу на линији реалног броја или у колекцији интервала. Будући да постоји било који број вредности у било ком интервалу, није смислено говорити о вероватноћи да ће случајна променљива добити одређену вредност; уместо тога, узима се у обзир вероватноћа да ће се континуирана случајна променљива налазити унутар датог интервала.



У континуираном случају, пандан функцији масе вероватноће је функција густине вероватноће, такође означена са ф ( Икс ). За континуирану случајну променљиву, функција густине вероватноће пружа висину или вредност функције при било којој одређеној вредности од Икс ; не даје директно вероватноћу да случајна променљива поприми одређену вредност. Међутим, површина испод графикона ф ( Икс ) који одговара неком интервалу добијеном рачунањем интеграла од ф ( Икс ) током тог интервала пружа вероватноћу да ће променљива попримити вредност унутар тог интервала. Функција густине вероватноће мора задовољити два захтева: (1) ф ( Икс ) мора бити ненегативан за сваку вредност случајне променљиве, а (2) интегрални преко свих вредности случајне променљиве мора бити једнака једној.

Очекивана вредност или средња вредност случајне променљиве - означена са ИС ( Икс ) или μ — је пондерисани просек вредности које случајна променљива може претпоставити. У дискретном случају тежине су дате функцијом масе вероватноће, а у континуираном случају тежине су дате функцијом густине вероватноће. Формуле за израчунавање очекиваних вредности дискретних и континуираних случајних променљивих дате су једначинама 2, односно 3.



ИС ( Икс ) = Σ Икс ф ( Икс ) (два)

ИС ( Икс ) = ∫ Икс ф ( Икс ) д Икс (3)

Одступање случајне променљиве, означено са Вар ( Икс ) или σдва, је пондерисани просек квадрата одступања од средње вредности. У дискретном случају тежине су дате функцијом масе вероватноће, а у континуираном случају тежине су дате функцијом густине вероватноће. Формуле за израчунавање варијанси дискретних и континуираних случајних променљивих дате су једначинама 4, односно 5. Тхе стандардна девијација , означен са σ, је позитиван квадратни корен варијансе. Пошто се стандардна девијација мери у истим јединицама као и случајна променљива, а варијанса се мери у квадратним јединицама, стандардна девијација је често пожељна мера.



Где( Икс ) = σдва= Σ ( Икс - μ)два ф ( Икс ) (4)

Где( Икс ) = σдва= ∫ ( Икс - μ)два ф ( Икс ) д Икс (5)

Посебне расподеле вероватноће

Биномна расподела

Две од најчешће коришћених дискретних расподела вероватноће су биномна и Поиссонова. Биномна вероватноћа масене функције (једначина 6) пружа вероватноћу да Икс успеси ће се догодити у н испитивања биномног експеримента.



Једначина.

Биномни експеримент има четири својства: (1) састоји се од низа н идентична суђења; (2) на сваком испитивању су могућа два исхода, успех или неуспех; (3) означена вероватноћа успеха у било ком суђењу стр , не мења се од суђења до суђења; и (4) испитивања су независна. На пример, претпоставимо да је познато да је 10 посто власника двогодишњих аутомобила имало проблема са електричним системом свог аутомобила. Да би се израчунала вероватноћа проналаска тачно 2 власника који су имали проблема са електричним системом из групе од 10 власника, биномна функција масе вероватноће може се користити подешавањем н = 10, Икс = 2, и стр = 0,1 у једначини 6; за овај случај је вероватноћа 0,1937.



Поисонова расподела

Поисонова расподела вероватноће се често користи као модел броја долазака у објекат у датом временском периоду. На пример, случајна променљива може се дефинисати као број телефонских позива који долазе у систем авио-компаније током периода од 15 минута. Ако је познат средњи број долазака током 15-минутног интервала, Поиссонова функција масе вероватноће дата једначином 7 може се користити за израчунавање вероватноће Икс доласци.

Једначина.

На пример, претпоставимо да је средњи број позива који стигну у периоду од 15 минута 10. Да би се израчунала вероватноћа да ће 5 позива доћи у наредних 15 минута, μ = 10 и Икс = 5 замењују се у једначини 7, дајући вероватноћу 0,0378.

Нормална расподела

Најчешћа употреба континуиране расподеле вероватноће у статистици је нормална расподела вероватноће. Графикон који одговара нормалној функцији густине вероватноће са средњом вредношћу μ = 50 и стандардном девијацијом σ = 5 приказан је уСлика 3. Као и сви нормални графови расподеле, то је крива у облику звона. Вероватноће за нормалну расподелу вероватноће могу се израчунати помоћу статистичких табела за стандардну нормалну расподелу вероватноће, што је нормална расподела вероватноће са средњом средином нуле и стандардном девијацијом од један. Једноставна математичка формула користи се за претварање било које вредности из нормалне расподеле вероватноће са средњом μ и стандардном девијацијом σ у одговарајућу вредност за стандардну нормалну расподелу. Тада се користе табеле за стандардну нормалну расподелу за израчунавање одговарајућих вероватноћа.

шта значи бакалар у послу
нормална расподела вероватноће

нормална расподела вероватноће Слика 3: Нормална расподела вероватноће са средњом вредношћу ( μ ) од 50 и стандардна девијација ( σ ) од 5. Енцицлопӕдиа Британница, Инц.

Постоји много других дискретних и континуираних расподела вероватноће. Остале широко коришћене дискретне расподеле укључују геометријске, хипергеометријске и негативне биноме; остале најчешће коришћене континуалне расподеле укључују једнолику, експоненцијалну, гама, хи-квадрат, бета, т , и Ф.